İkinci Dereceden Eşitsizlikler

[Maui]

İkinci Dereceden Eşitsizlikler

2. Dereceden Eşitsizlikler ax2+bx+c>0 (ya da büyük eşit sıfır), ax2+bx+c<0 (ya da küçük eşit sıfır) şeklinde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsizlikler deniyordur. Bu tür denklemlerin çözümünde ax2+bx+c ifadesinin işaretinin incelenmesi, x in hangi değerler için negatif hangi değerleri için pozitif olduğunun belirlenmesi gerekiyordur. Bu çözümleme a nın işareti ile ax2+bx+c=0 denkleminin köklerine bağlıdır (bu bağlamda çözüm için diskriminant formülünden yararlanılır b2-4ac) b2-4ac>0 ise ax2+bx+c=0 denkleminin x1<x2 olmak üzere farklı iki kökü vardır; ax2+bx+c=a.(x-x1).(x-x2) yazılabilir Burada eğer x<x1 ise (x-x1)<0 ve(x-x2)<0 olur Bu nedenle (x-x1).(x-x2)>0 dır ve ax2+bx+c=0 ifadesi a ile aynı işaretli (+) bir değer alır. x kökler arasındaysa,X1<X<X2 ise x-x1>0 ve x-x2<0 olacağından (x-x1).(x-x2)<0 olur.Burada ax2+bx+c=0 ifadesi a ile zıt işaretli(- ise +;+ ise - gibi) bir değer alır. x>x2 ise (x-x1)ve (x-x2) çarpanlarından her ikiside pozitif olacağı için ax2+bx+c=0 ifadesi a ile aynı işaretli bir değer alır. Kısaca x, kökler arasında ise tabloda a ile zıt işaretli; kökler dışında ise aynı işaretli oluyordur. Örnek Soru: x2-3x+2>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm:Önce x2-3x+2 denkleminin köklerini bulmak gerekir. b2-4ac=(-3)2-4.1.2>0 olduğundan denklemin farklı iki kökü vardır. x1=3-1/2 ve x2=3+1/2 den x1=1 ve x2=2 bulunur. Buna göre işaret tablosu yapılarak kökler yerleştirilip, işaretler incelenerek çözüm kümesi yazılır. x'e 1 den küçük (x1<1) ya da 2'den büyük (x2>2) değerler verilirse x2-3x+2 ifadesi pozitif değer, x'e 1 ve 2 arasında (kökler arasında bir değer) verilirse x2-3x+2 ifadesi negatif bir değer alır buna göre; Çözüm kümesi=Ç=(-sonsuz,1)U(2,+sonsuz) olur.[/li][/list] b2-4ac=0 ise denklemin tek kökü vardır (x=-b/2a) buna göre ax2+bx+c ifadesi a ile aynı işaretli olmuş olur. Örnek Soru: -9x2+6x-1<0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?  Çözüm: b2-4ac=0 yani 36-4.(-9).(-1)=36-36=0 olduğunda denklemin kökü -b/2a dır, buradan -6/2.(-9)=6/18=1/3 bulunur yani -9x2+6x-1 ifadesi x=1/3 noktasında sıfır değerini almaktadır, diğer alanlarda negatif değerdedir (a ile aynı işaretli) Buna göre Çözüm kümesi=Ç=IR-(1/3)=(-sonsuz,1/3)U(1/3,+sonsuz) olur. b2-4ac<0 ise denklemin kökü yoktur. ax2 +bx+c ifadesi a ile her zaman aynı işaretlidir. Örnek Soru: x2-4x+5<0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?  Çözüm: b2-4ac<0=16-4.5=-4<0 olduğu için eşitsizlik a ile aynı işaretli olur. a'nın işareti pozitif olduğu için eşitsizlik tabloda daima pozitif değer alır. Hiçbir noktada sıfır veya negatif olmaz. Bu nedenle eşitsizliğin Çözüm kümesi=0 yani boş kümedir.